Toma tu objeto esférico favorito que tengas por ahí —una naranja, una pelota de tenis, lo que sea— y cúbrelo de puntos. Ahora dibuja un montón de líneas que conecten esos puntos, con cuidado de que las líneas nunca se crucen. En efecto, estás dibujando un poliedro cuyas caras han sido deformadas sobre la superficie de tu esfera. Suma el número de puntos (vértices), resta el número de líneas (aristas) y suma el número de caras en las que has dividido la superficie, y siempre obtendrás 2. ¡No importa qué puntos y líneas hayas elegido dibujar! El objeto ni siquiera tiene que ser una esfera. Si te sientes cómodo dibujando sobre la superficie de tu portátil, encontrarías lo mismo: V - A + C = 2. Esta es la fórmula característica de Euler.
"Pero espera", te oigo decir, "¡has impreso mal la fórmula en la taza!". Todo lo contrario, amigo mío. Si jugaras a este mismo juego en la superficie de una taza, te darías cuenta de que la fórmula cambia. En cambio, al sumar los vértices, restar las aristas y sumar las caras, siempre obtendrías 0. Lo mismo ocurriría si lo intentaras con un bagel o cualquier otra superficie que tenga un agujero. O, más bien, esto es cierto siempre y cuando ninguna de las caras que dibujes termine con un agujero. Así que tendrías que asegurarte de que parte de tu dibujo ocurra en el asa, por ejemplo. Esta expresión, V - A + C, es una especie de huella dactilar topológica para una superficie. Puede que hayas oído que, para un topólogo, una taza y una rosquilla son lo mismo, en el sentido de que una puede deformarse continuamente para convertirse en la otra. El hecho de que V - A + C = 0 en ambas superficies es una forma de hacer que esta similitud sea un poco más cuantitativa y, por lo tanto, algo que realmente se puede utilizar para cálculos y demostraciones.
Puedes encontrar una descripción de la fórmula de Euler en
este video. Mi reto para ti es que tomes el argumento de ese video y pienses en lo que cambia en las superficies con un agujero, como una rosquilla o una taza. Si lo logras entender, descubrirás que esta es una forma notablemente ingeniosa de codificar la idea de cuántos "agujeros" tiene una superficie. Y si sientes la necesidad de ser empírico con una taza real, conozco un lugar donde puedes comprar una...
