Prenez votre objet sphérique préféré qui traîne – une orange, une balle de tennis, n'importe quoi – et couvrez-le de points. Dessinez maintenant un tas de lignes reliant ces points, en veillant à ne jamais laisser les lignes se croiser. En fait, vous dessinez un polyèdre dont les faces ont été déformées sur la surface de votre sphère. Additionnez le nombre de points (sommets), soustrayez le nombre de lignes (arêtes) et ajoutez le nombre de faces en lesquelles vous avez divisé la surface, et vous obtiendrez toujours 2. Peu importe les points et les lignes que vous avez choisis de dessiner ! L'objet n'a même pas besoin d'être une sphère. Si vous êtes à l'aise pour dessiner sur la surface de votre ordinateur portable, vous trouveriez la même chose : S - A + F = 2. C'est la formule caractéristique d'Euler.
"Mais attendez," vous entends-je dire, "vous avez mal imprimé la formule sur la tasse !" Au contraire, mon ami. Si vous jouiez à ce même jeu sur la surface d'une tasse, vous constateriez que la formule change. Au lieu de cela, si vous additionnez les sommets, soustrayez les arêtes et ajoutez les faces, vous obtiendriez toujours 0. De même, si vous essayiez cela sur un bagel, ou toute autre surface qui a un trou. Ou plutôt, cela est vrai tant qu'aucune des faces que vous dessinez ne se retrouve avec un trou. Vous devrez donc vous assurer qu'une partie de votre dessin se trouve sur l'anse, par exemple. Cette expression, S - A + F, est une sorte d'empreinte topologique pour une surface. Vous avez peut-être entendu dire que pour un topologue, une tasse et un beignet sont la même chose, dans le sens où l'un peut être déformé en continu pour former l'autre. Le fait que S - A + F = 0 sur ces deux surfaces est une façon de rendre cette similitude un peu plus quantitative, et donc quelque chose que vous pouvez réellement utiliser pour des calculs et des preuves.
Vous pouvez trouver une description de la formule d'Euler dans
cette vidéo. Mon défi est de prendre l'argumentation de cette vidéo et de réfléchir à ce qui change sur les surfaces avec un trou, comme un beignet ou une tasse. Si vous y réfléchissez bien, vous constaterez que c'est une façon remarquablement astucieuse de codifier l'idée du nombre de "trous" qu'une surface contient. Et si vous ressentez le besoin de devenir empirique avec une vraie tasse, je connais un endroit où vous pouvez en acheter une...
